Stetige Funktion Min-|Maximum < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:53 So 22.01.2006 | | Autor: | Quedrum |
| Aufgabe | | Sei [mm] f:\IR\to\IR[/mm] eine stetige Funktion mit [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty} f(x)=0[/mm]. Zeigen Sie, dass die Funktion f ihr Maximum oder ihr Minimum annimmt. Lässt sich hier "oder" durch "und" ersetzen? |
Hallo zusammen,
ich hab bei der Aufgabe einen Ansatz, nur weiß ich nicht, ob ich das so schreiben darf:
Wenn die Menge Kompakt ist und die Funktion stetig, nimmt sie ihr Maximum und Minimum an. Kann ich also aus dem [mm]\IR[/mm] ein Intervall herausnehmen, dass nahe bei [mm]\infty[/mm] und [mm]-\infty[/mm] liegt?
Somit ist es schonmal abgeschlossen. Da die Funktion stetig ist und [mm]\limes_{x\rightarrow\pm\infty} f(x)=0[/mm] ist sie auch beschränkt. ==> Also Kompakt.
Somit nimmt sie in dem kompakten Intervall ihr Maximum und Minimum an.
Für den 2ten Teil konstruiert man ein Gegenbeispiel, das geht.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:33 So 22.01.2006 | | Autor: | Hanno |
Hallo.
Vorschlag:
Betrachte $f$ auf einem beliebigen, abgeschlossenen Intervall. Wie du richtig sagst, nimmst es auf dieser kompakten Menge sein Minimum $s$ und Maximum $t$ an. Nun wählst du [mm] $x_0,x_1$ [/mm] so, dass für alle [mm] $x\in \IR$ [/mm] mit [mm] $x
Liebe Grüße,
Hanno
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